Co miało wypływ na prace Russella? cz. II

Russell przywiązywał znaczną wagę do swego zetknięcia się, na międzynarodowym kongresie w Paryżu w 1900 r., z dziełem Giuseppe Peano (1858-1932), włoskiego matematyka. Od wielu lat, faktycznie od początku studiów nad geometrią, Russella trapiło zagadnienie podstaw geometrii. W owym czasie nie znał dzieła Fregego, który już podjął próbę sprowadzenia arytmetyki do logiki. Ale pisma Peano dostarczyły mu bodźca do prześledzenia na nowo owego zagadnienia. A bezpośrednim wynikiem jego rozważań były The Principles of Mathematics („Zasady matematyki”), które ukazały się w 1903 r.

W ogrodzie matematyki były jednak chwasty. Russell ukończył pierwszy szkic The Principles of Mathematics pod koniec 1900 r., a na początku 1901 r. wpadł na coś, co wydało mu się antynomią czy paradoksem w logice klas. A ponieważ definiował liczby w terminach logiki klas, przy czym liczba kardynalna to „klasa wszystkich klas podobnych do danej klasy”9, antynomia ta dotyczy oczywiście matematyki. A Russell musiał bądź ją rozstrzygnąć, bądź przystać na istnienie nierozstrzygalnej antynomii w dziedzinie matematyki.

Antynomię ową można przedstawić w sposób następujący. Klasa świń sama oczywiście nie jest świnią, to znaczy nie jest swoim własnym elementem. Ale rozważmy pojęcie klasy wszystkich klas, które nie są swoimi własnymi elementami. Nazwijmy ją klasą X i spytajmy, czy X jest, czy nie jest własnym elementem. Z jednej strony wydaje się, że nie może być własnym elementem. Jeśli bowiem założymy, że jest, wynika stąd logicznie, że X ma definiującą własność swych elementów. A ta własność definiująca polega na tym, że każda klasa, której jest ona własnością, nie jest własnym elementem. X nie może być zatem własnym elementem. Z drugiej strony wydaje się, że X musi być własnym elementem. Jeśli bowiem wychodzimy z założenia, że nie jest własnym elementem, wynika stąd logicznie, że nie jest elementem tych klas, które nie są własnymi elementami. A powiedzieć to, to powiedzieć, że X jest własnym elementem. A więc, czy wychodzimy z założenia, że X jest własnym elementem, czy z założenia, że nie jest własnym elementem, w obu przypadkach, jak się wydaje, zostajemy uwikłani w wewnętrzną sprzeczność.

Leave a reply

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>